12Vite.com Përgatitje për Shkollën e Lartë
Disa identitete të rëndësishme
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
VËRTETIMI
$(a+b)^{3} = (a+b)^{2} (a+b) =\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)=\\
=a\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)+b\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)=\\
\begin{array}{l}
=a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}= \\
=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}
\end{array}
$
$(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$
VËRTETIMI
$(a-b)^{3}=(a-b)^{2} \cdot(a-b) =\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)(a-b)=\\
=a\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)-b\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)=\\
=a^{3}-2 a^{2} b+a b^{2}-a^{2} b+2 a b^{2}-b^{3}=\\
=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}
$
$a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)$
VËRTETIMI
$(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)-b\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=$
$$
\begin{array}{l}
=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3}= \\
=a^{3}-b^{3}
\end{array}
$$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$
VËRTETIMI
$\begin{aligned}(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) &=a\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)-b\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=\\ &=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3}=\\ &=a^{3}-b^{3} \end{aligned}$
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+a c+b c)$
VËRTETIMI
$\begin{aligned}(a+b+c)^{2} &=(a+b+c) \cdot(a+b+c)=\\ &=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)=\\ &=a^{2}+a b+a c+a b+b^{2}+b c+a c+b c+c^{2}=\\ &=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=\\ &=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+a c+b c) \end{aligned}$
Polinomet me një ndryshore
Polinomet janë identike nëse janë me fuqi të njëjtë dhe koeficientët pranë fuqive të njëjta i kanë dy e nga dy të barabarta.
Pjesëtimi i një polinomi me x-c
\( P(x) = (x-c) \cdot Q(x) + r \)
ku Q(x) është herësi ndërsa r është mbetja. Polinomet mund të pjesëtohen me anë të koeficientëve të papërcaktuar dhe me skemën e Hornerit.
Metoda e Koeficientëve të papërcaktuar
- Q(x) është një fuqi më poshtë se polinomi dhe r është mbetja.
- Shumëzojmë trajtën e Q(x) me (x-c).
- Grupojmë në anën e djathtë sipas fuqive të njëjta të x.
- Koeficientët pranë fuqive të njëjta në anën e majtë janë të barabarta me ato pranë anës së djathtë, ndaj ndërtojmë ekuacionet për secilin. Kufiza e lirë është r.
- Pasi gjejmë koeficientët, tregojmë trajtën: $ P(x) = (x-c) \cdot Q(x) + r$
Skema e Hornerit
- Rradhitim polinomin sipas fuqive zbritëse të x.
- I shkruajmë koeficientët në tabelë.
- Zgjidhim ekuacionin x-c=0 dhe e vendosim rrënjën në anën e majtë të tabelës.
- Poshtë koeficientit të parë vendosim sërish të njëjtin. Shumëzojmë koeficientin me rrënjën dhe e vendosim poshtë koeficientit të dytë. Më pas gjejmë shumën e numrave në kolonën e përftuar dhe i shënojmë në rreshtin e poshtëm. Shumën e shumëzojmë me rrënjën dhe e vendosim poshtë koeficientit të tretë dhe kështu vazhdojmë deri në fund.
- Numri i fundit është mbetja.
Logjika e Skemës së Hornerit mund të paraqitet si më poshtë:
| $x-c=0$ | $x^3$ | $x^2$ | $x^1$ | $x^0$ |
| $c$ | $a$ | $b$ | $c$ | $d$ |
| $\downarrow$ | $a\cdot c$ | $[b+(a \cdot c)] \cdot c$ | $Shuma \cdot c$ | |
| $a \nearrow$ | $b+(a\cdot c) \nearrow$ | $Shuma \nearrow$ | $(Shuma \cdot c) +d$ është mbetja | |
| $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | $\uparrow$ | |
| $x^2$ | $x^1$ | $x^0$ | $r$ |
Ilustrim i një ushtrimi me Skemën e Hornerit:
